采样定理

1.1 时域

频带为F的连续信号f(t)可用一系列离散的采样值f(t1)、f(t1±Δt)、f(t1±2Δt)…来表示，只要这些采样点的时间间隔Δt ≤ 1/（2F），便可根据各采样值完全恢复原来的信号f(t)。这是时域采样定理的一种表达。

另一种表述方式是：当时间信号函数f(t)的最高频率分量为fM时,f(t)的值可由一系列采样间隔小于或等于1/(2fM)的采样值来确定,即采样点的重复频率f≥(2fM)。图为模拟信号和采样样本的示意图。

我的理解：一个时间上连续的函数或波形，这个波形的最高频率达到fM，现要想用一个离散的值去表示它，并且不丢失信息，那对这一组离散值的最低要求是：这组离散值相邻值之间的时间间隔Δt不能超过T = 1/(2fM)即有Δt ≤ 1/（2fM）。这么看来，在采样的时间上Δt有最大值，那么采样的频率上f=1/ Δt是由一个最小值，即f f≥(2fM)。

时域采样定理是采样误差理论、随机变量采样理论和多变量采样理论的基础。

1.2 频域

对于时间上受限制的连续信号f(t)（即当│t│>T时,f(t)=0,这里T=T2-T1是信号的持续时间），若其频谱为F（ω）,则可在频域上用一系列离散的采样值 来表示,只要这些采样点的频率间隔ω≦π/tm 。

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1.3公式

     理想低通信道的最高码元传输速度B=2W baud (其中W是带宽)，理想信号的极限信息速率（信道容量）

                                 C = B*log2N (bps)

1.4 结论

     从信号处理角度看，采样定理描述了两个过程：采样与重建。采样是连续时间信号转换为离散时间信号，重建过程是对样本进行插值的过程，即从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续的信号x(t)即原始信号。这一过程的精确度受量化误差的限制。

     只要已知信号的最高频率fmax，采样定理给出了保证能完整重建此信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特采样频率，用fN表示。反之，已知现有的采样频率，通过采样定理可知能保证重建信号的最大可采样信号频率。

    同时也说明，被采样的信号必须是 带限的 ，即 信号中高于某一给定值的频率成分是0，或至少非常接近0，这样在重建信号中这些频率成分的影响可忽略不计。比如声音信号，人类的声音信号频率超过5Khz的成分非常非常小，因此其采样频率用10Khz就足够了。

    采样率越高，稍后恢复出的波形就越接近原信号，但是对系统的要求就更高，转换电路必须具有更快的转换速度。

1.5  过采样（oversampling）

指以高于信号带宽2倍或其最高频率对其采样的过程。

欠采样

1.6 截止频率（Cutoff frequency）

指一个系统的输出信号能量开始大幅下降（在带阻滤波器中为大幅上升）的边界频率。

1.7 混叠  

如果不满足采样定理条件，采样后的信号的频率就会重叠。即被采样信号中高于采样频率一半（fs/2）的那部分频率成分将被重建成低于fs/2信号。这种频谱的重叠导致的失真称为  混叠 。而重建出来的信号称为原信号的 混叠替身 ，因为这两个信号有同样的样本值。

避免混叠发生的方法：

提高采样频率 ；
引入低通滤波器 或提高低通滤波器的参数，该低通滤波器称为抗混叠滤波器。
1.8  抗混叠低通滤波器

当一个信号被采样时，必须满足采样定理以避免混叠。为满足采样定理要求，信号在进行减采样前，必须通过一个具有适当截止频率的低通滤波器。这中用于避免抗混叠的低通滤波器称为 抗混叠低通滤波器 。

1.9  信号的重构

任何信号都可以看做是不同频率的正弦（余弦）信号的叠加，因此如果知道所有组成这一信号的正（余弦）信号的幅值、频率和相角，就可以重构原信号。由于信号测量、分解及时频变换的过程中存在误差，因此不能100%地重构原信号，重构的信号只能保证原信号误差在容许范围内。

                                                   ADC

数字信号变成模拟信号会产生量化噪声，需要模拟低通滤波器滤除，但模拟低通滤波器并非直接滤除截止频率以外的信号、而是大幅减少截止频率以外的信号、同时小幅减少及影响截止频率以内的信号。若能提高低通滤波器的截至频率，则模拟低通滤波器对期待保留的频段（以音响系统为例，就是人耳听得到的20hz-20khz）的影响就会降低；过采样可以将量化噪声推往更高频率、让系统可以选用更高截止频率的低通滤波器，借此避免 混叠、改善分辨率以及降低噪声。

很多场合都需要有高速的A/D采样保证有效性和精度，如无线电、数字图像采集等，一般的测控系统也希望在精度上有所突破。AD转换器是实现数字化的选择，其发展从 Flash并型 ADC 、 SAR型ADC 、 积分型ADC ，但近年来发展的 Σ-Δ型  和 Pipeline ADC ， 各有优缺点，满足不同场合。