m序列本原多项式的寻找

一、求n次本原多项式F（x）的方法：
（1）将xm+1（xm-1）（m=xn-1）因式分解到已经不能再分解；
（2）在得到的因式集合中，排除掉所有少于n次的因式；
（3）其余的因式若不能整除任何xq+1（q<m），则这个因式为本原多项式F（x），可能不止一个。
（注：这里的n可理解成线性反馈移位寄存器的级数）

二、本原多项式F（x）与m序列的联系：
（1）m序列的特征多项式即为n阶本原多项式；
（2）1/F（x）作多项式长除法得到的商多项式系数序列就是m序列。

例子：求n=4本原多项式并得到m序列（n=4相当于级数为4）
xm + 1 = xm - 1=（x4 + x3 + x2 + x + 1) (x4 + x + 1) (x4 + x3 + 1) ( x2 + x + 1) (x+1)
其中 ( x2 + x + 1) 、(x+1)的次数小于4被排除。
其中（x4 + x3 + x2 + x + 1)可整除x5 + 1 = x5 - 1，也被排除。其长除法如下图（3）：

故本原多项式有 x4 + x + 1、 x4 + x3 + 1。F（x）= x4 + x + 1，F1（x）= x4 + x3 + 1 分别对应一个m序列，可以由多项式1/F（x）长除法算出m序列，如下图（4）：



q(x)= x-4 + x-7 + x-8 + x4 + x-10 + x-12 + x-13 + x-14 + x-15 +x-10+…
对应m序列：100110101111000（15个码元，即周期为15）、100110101111000…（周期性循环）

三、 互反多项式
F1（x）= F（x-1）xn，即F1（x）与 F（x）为 互反多项式，也就是说它们产生的序列顺序互反的，m序列的反序列亦是m序列。

四、部分阶数本原多项式表（2）

m序列本原多项式的寻找