傅里叶变化与傅里叶级数之间的区别与联系

傅里叶级数是周期变换，傅里叶变换是一种非周期变换

　　傅里叶级数是以三角函数为基对周期信号的无穷级数展开，如果把周期函数的周期取作无穷大，对傅里叶级数取极限即得到傅里叶变换。

　　傅里叶变换是从傅里叶级数推演而来的，傅里叶级数是所有周期函数都可以分解成一系列的正交三角函数，这样，周期函数对应的傅里叶级数即是它的频谱函数

　　傅里叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式，也就是正交级数，它不同频率的波形的叠加，而傅里叶变换就是完全的频域分析

　　傅里叶级数

　　为什么要有傅里叶级数

　　傅里叶级数（Fourier Series）是用一系列正弦波（Sinusoid）来描述任何周期函数的一种方法。图1中的三条曲线分别是周期为1秒的方波，正弦波和三角波。由于正弦和余弦只有相位差，故统称正弦波。
图1. 周期为1秒的方波，正弦波，三角波

　　在介绍傅里叶级数之前，让我们先来回顾一下级数的概念。级数是用一个无穷数列的加和来逼急一个数。函数项级数则是用一个函数列的加和来逼近一个函数。
称为定义在（a，b）内的函数项级数。为什么要把一个看似简单的函数分解成一大堆函数的和呢？因为有些函数直接研究起来比较困难，以某种形式的级数进行展开，对里面的每一项单独研究，会变得更简单，也使得计算更加容易。级数有千千万万种，如泰勒级数，等比级数，调和级数等等。但是有一种由正弦函数组合而成的级数，显得尤为重要。这就是傅里叶级数。为什么傅里叶技术格外重要呢？这要归功于正弦函数优秀的性质。我们将函数展开成级数是为了获得更加简便和易于计算的形式。而当正弦波输入一个系统时，输出仍然是一个正弦波，只有振幅、相位和频率会发生变化，而不像其他的级数会使函数形式本身发生改变。这使得傅里叶级数在分析函数时具有了巨大的优势。此外，由于通信系统中电磁场与电磁波，以及诸多物理原理都与正弦信号有关，所以造就了傅里叶级数如此重要的地位。

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傅里叶变化与傅里叶级数之间的区别与联系