RS编码和纠错算法

RS(Reed-Solomon)码在伽罗华域(Galois Field，GF)中运算的，因此在介绍RS码之前先简要介绍一下伽罗华域。

CD-ROM中的数据、地址、校验码等都可以看成是属于GF(2m) = GF(28)中的元素或称符号。GF(28)表示域中有256个元素，除0，1之外的254个元素由本原多项式P(x)生成。本原多项式的特性是得到的余式等于0。CD-ROM用来构造GF(28)域的是

(13－1)
而GF(28)域中的本原元素为

α = (0 0 0 0 0 0 1 0)

下面以一个较简单例子说明域的构造。

[例13.1] 构造GF(23)域的本原多项式假定为

α定义为 = 0的根，即

α3＋α＋1 = 0
和 α3 = α＋1

GF(23)中的元素可计算如下：

0

mod(α3＋α＋1) = 0

α0

mod(α3＋α＋1) = α0 = 1

α1

mod(α3＋α＋1) = α1

α2

mod(α3＋α＋1) = α2

α3

mod(α3＋α＋1) = α＋1

α4

mod(α3＋α＋1) = α2＋α

α5

mod(α3＋α＋1) = α2＋α1＋1

α6

mod(α3＋α＋1) = α2＋1

α7

mod(α3＋α＋1) = α0

α8

mod(α3＋α＋1) = α1

……

　

用二进制数表示域元素得到表13-01所示的对照表

表13-01 GF(23)域中与二进制代码对照表,

GF(23)域元素

二进制对代码

0

(000)

α0

(001)

α1

(010)

α2

(100)

α3

(011)

α4

(110)

α5

(111)

α6

(101)

这样一来就建立了GF(23)域中的元素与3位二进制数之间的一一对应关系。用同样的方法可建立GF(28)域中的256个元素与8位二进制数之间的一一对应关系。在纠错编码运算过程中，加、减、乘和除的运算是在伽罗华域中进行。现仍以GF(23)域中运算为例：

加法例：α0＋α3 = 001＋011

= 010 = α1

减法例：与加法相同

乘法例：α5·α4 = α(5＋4) mod7

= α2

除法例：α5/α3 = α2

α3/α5 = α－2

= α(－2＋7)

= α5

取对数：log(α5) = 5

这些运算的结果仍然在GF(23)域中。

13.2.2 RS的编码算法

RS的编码就是计算信息码符多项式除以校验码生成多项式之后的余数。

在介绍之前需要说明一些符号。在GF(2m)域中，符号(n，k)RS的含义如下：

m

表示符号的大小，如m = 8表示符号由8位二进制数组成

n

表示码块长度，

k

表示码块中的信息长度

K=n－k = 2t

表示校验码的符号数

t

表示能够纠正的错误数目

例如，(28，24)RS码表示码块长度共28个符号，其中信息代码的长度为24，检验码有4个检验符号。在这个由28个符号组成的码块中，可以纠正在这个码块中出现的2个分散的或者2个连续的符号错误，但不能纠正3个或者3个以上的符号错误。

对一个信息码符多项式，RS校验码生成多项式的一般形式为

(13－2)
式中，m0是偏移量，通常取K0 = 0或K0 = 1，而(n-k)≥2t (t为要校正的错误符号数)。

下面用两个例子来说明RS码的编码原理。

[例13.2] 设在GF(23)域中的元素对应表如表13-01所示。假设(6，4)RS码中的4个信息符号为m3、m2、m1和m0，信息码符多项式为

(13－3)
并假设RS校验码的2个符号为Q1和Q0，的剩余多项式为


这个多项式的阶次比的阶次少一阶。

如果K0 = 1，t = 1，由式(13－2)导出的RS校验码生成多项式就为

= (13－4)
根据多项式的运算，由式(13－3)和式(13－4)可以得到

m3x5＋m2x4＋m1x3＋m0x2＋Q1x＋Q0 = (x－α)(x－α2)Q(x)

当用x = α和x = α2代入上式时，得到下面的方程组，

经过整理可以得到用矩阵表示的(6，4)RS码的校验方程：

求解方程组就可得到校验符号：

在读出时的校正子可按下式计算：

　

[例13.3] 在例13.2中，如果K0 = 0，t = 1，由式(13－2)导出的RS校验码生成多项式就为

= (13－5)
根据多项式的运算，由(13－3)和(13－5)可以得到下面的方程组：


方程中的αi也可看成符号的位置，此处i = 0，1，…，5。

求解方程组可以得到RS校验码的2个符号为Q1和Q0，

(13－6)

假定mi为下列值：

信息符号

m3 = α0 = 001

m2 = α6 = 101

m1 = α3 = 011

m0 = α2 = 100

校验符号

Q1 = α6 = 101

Q0 = α4 = 110

校正子

s0 = 0

s1 = 0

代入(13－6)式可求得校验符号：

Q1 = α6 = 101

Q0 = α4 = 110

13.2.3 RS码的纠错算法

RS码的错误纠正过程分三步： (1)计算校正子(syndrome)，(2)计算错误位置，(3)计算错误值。现以例13.3为例介绍RS码的纠错算法。

校正子使用下面的方程组来计算：

为简单起见，假定存入光盘的信息符号m3、m2、m1、m0和由此产生的检验符号Q1、Q0均为0，读出的符号为m3′、m2′、m1′、m0′、Q1′和Q0′。

如果计算得到的s0和s1不全为0，则说明有差错，但不知道有多少个错，也不知道错在什么位置和错误值。如果只有一个错误，则问题比较简单。假设错误的位置为αx，错误值为mx，那么可通过求解下面的方程组：

得知错误的位置和错误值。

如果计算得到s0 = α2和s1 = α5，可求得αx = α3和mx = α2，说明m1出了错，它的错误值是α2。校正后的m1 = m1′＋mx ，本例中m1=0。

如果计算得到s0 = 0，而s1≠0，那基本可断定至少有两个错误，当然出现两个以上的错误不一定都是s0 = 0和s1≠0。如果出现两个错误，而又能设法找到出错的位置，那么这两个错误也可以纠正。如已知两个错误和的位置和，那么求解方程组：

就可知道这两个错误值。

CD-ROM中的错误校正编码CIRC和里德-索洛蒙乘积码(Reed Solomon Product－like Code，RSPC)就是采用上述方法导出的。

RS编码和纠错算法

RS编码和纠错算法

RS编码和纠错算法

RS编码和纠错算法

RS编码和纠错算法

Verilog基础知识0（`define、parameter、localparam三者的区别及举例）
http://www.fpgaw.com/forum.php?m ... 6&fromuid=58166
(出处: fpga论坛|fpga设计论坛)

RS编码和纠错算法